Estimer la taille des factorielles sans calculatrice
En bref
- Un article pédagogique qui montre comment estimer le nombre de chiffres de n! (par exemple 52!) en utilisant une formule simple basée sur Stirling : n log₁₀(n/e) + 2.
- Cette approximation repose sur la fonction Gamma et la méthode de Laplace pour intégrales, des outils mathématiques classiques mais rarement présentés de façon accessible.
- Pour 52!, la formule prédit 69 chiffres ; le vrai résultat est 68, ce qui démontre l'exactitude pratique de l'approche.
Ce que dit la source
L'auteur se demande comment estimer la taille (nombre de chiffres) d'une factorielle grande sans machine, et propose une formule simple et précise : le nombre de chiffres dans n! ≈ n log₁₀(n/e) + 2. Il reconstitue ensuite les fondations mathématiques qui justifient cette formule : la fonction Gamma (qui généralise la factorielle aux réels positifs), puis l'approximation de Stirling, puis enfin le calcul du nombre de chiffres par logarithme en base 10.
- La formule repose sur l'approximation de Stirling : n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ, un résultat datant du XVIIIe siècle mais peu souvent dérivé en partant de la fonction Gamma.
- L'auteur applique la méthode de Laplace pour approximer une intégrale de la forme ∫ exp(nf(x))dx, ce qui transforme l'intégrale définissant la fonction Gamma en une expression fermée.
- Le premier terme log₁₀(√(2πn)) n'est pas multiplié par n ; il devient négligeable pour grandes valeurs de n, contribuant à peine 2-3 chiffres supplémentaires jusqu'à n ≈ 160 000.
Dans les commentaires
Débat partagé : la majorité applaudit la clarté pédagogique et la pertinence historique du sujet, mais plusieurs commentateurs relèvent que Stirling est un résultat ancien (1730) et que la formule simplifiée n log n suffit déjà pour une estimation rapide en algorithmique.
- Plusieurs commentateurs soulignent que le contenu n'est pas nouveau : Stirling est connu depuis trois siècles, et des versions simplifiées (n log n ou n log n - n/2) circulent largement dans l'enseignement de l'algorithmique. Une critique juste mais proportionnée : l'article revendique d'être pédagogique, non novateur.
- Un commentateur propose une dérivation alternative par différences finies plutôt que par intégrales (approche Bender & Orszag), suggérant qu'on peut arriver au même résultat sans calcul continu, juste par algèbre et l'observation que log(n!) ≈ n log n.
- Le fil dérive rapidement vers des anecdotes (52! en secondes, le classique de 60! > atomes de l'univers, les permutations de cartes à jouer), ce qui dilue la discussion technique ; aucun rejet de la démarche, mais plutôt une tangente conversationnelle.
Notre lecture
Article de mathématiques appliquées solide, bien écrit et utile pour internaliser pourquoi Stirling fonctionne. Aucune découverte scientifique, aucune application métier directe : c'est de la pédagogie pure. Pour un développeur ou un DSI, l'intérêt est limité sauf si vous devez estimer des ordres de grandeur combinatoires ou justifier la complexité d'un tri. Le débat HN confirme que la formule est connue et ancienne, ce qui n'enlève rien à la qualité de la présentation. À lire si vous aimez les maths appliquées expliquées proprement ; sinon, probablement du bruit.